GNDT-Monografie: Liberatore

¹ Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università di Roma "La Sapienza"

Nell'ambito della ricerca è stata rivolta specifica attenzione alla protezione sismica di oggetti d'arte di dimensioni rilevanti (in particolare statue) attraverso l'isolamento alla base.

Qualitativamente, l'isolamento sismico viene ottenuto disponendo l'oggetto su di un dispositivo caratterizzato da una rigidezza alla traslazione (orizzontale) bassa; in tal modo si ottiene una traslazione della frequenza fondamentale del sistema oggetto + supporto in un campo di frequenze nel quale il contenuto energetico del sisma è ridotto. In genere, al dispositivo che realizza l'isolamento viene accoppiato un dispositivo dissipatore, in grado cioè di dissipare parte dell'energia trasmessa.

I dispositivi isolatori/dissipatori impiegati per l'isolamento sismico di edifici e ponti sono stati oggetto di studi molto approfonditi negli ultimi anni: meno studiati, anche perché meno diffusi, sono i dispositivi predisposti per realizzare il controllo delle vibrazioni di oggetti di dimensioni e peso più contenuti, quali gli oggetti d'arte.

Nel seguito viene illustrata una procedura di analisi della risposta dinamica di oggetti disposti su alcune tipologie di dispositivi disponibili in commercio; la procedura viene impiegata per valutare l'efficienza dell'isolamento nella protezione sismica degli oggetti d'arte. I modelli a cui si fa riferimento nella rappresentazione dei dispositivi sono: una molla lineare in parallelo con uno smorzatore viscoso per rappresentare un isolatore lineare smorzato; due molle lineari in parallelo, una delle quali in serie con uno smorzatore alla Coulomb, per rappresentare un isolatore il cui legame di risposta sia di tipo bilineare.

A.2 Analisi della risposta dinamica di oggetti disposti su isolatori lineari

Si considera innanzitutto il caso di un oggetto disposto su di un isolatore lineare, caratterizzato cioè da una relazione forza-spostamento lineare.

La valutazione della risposta dinamica del sistema richiede il calcolo delle pulsazioni proprie e delle forme modali. Tale calcolo viene svolto adottando una tecnica perturbativa, che utilizza come soluzione di partenza quella valida per l'oggetto incastrato alla base. L'impiego di tale procedura permette infatti di considerare la reale natura dello smorzamento del sistema oggetto + isolatore, che è tipicamente non proporzionale, in quanto i due sottosistemi dissipano in maniera molto diversa.

Nel caso di un sistema ad n gradi di libertà, caratterizzato da uno smorzamento di tipo non proporzionale e di valore inferiore al critico, la soluzione del problema delle oscillazioni libere porta alla definizione di n autovalori complessi, con parte reale negativa, e di n autovettori anch'essi complessi.

Il generico autovettore è caratterizzato da 2n parametri (n ampiezze ed n fasi): per la sua determinazione sono quindi necessarie 2n equazioni.

Di queste equazioni, n sono fornite dalle condizioni di equilibrio dinamico del sistema:

dove: [M], [C] e [K] sono le matrici, rispettivamente, delle masse, degli smorzamenti e delle rigidezze; {u} è il vettore degli spostamenti relativi della struttura rispetto alla base; {r} è il vettore di trascinamento; a_g è l'accelerazione applicata alla base. Le restanti n equazioni vengono ricavate (Foss, 1958) dalla eguaglianza matriciale:

La formulazione (A.4) ha il vantaggio di contenere le due matrici [A] e [B] che sono reali e simmetriche; la soluzione del sistema (A.4) può essere quindi ottenuta attraverso l'analisi modale classica.

Si indichi con [D] la matrice (2n x 2n) degli autovettori del sistema (A.4). Operando il cambiamento di variabile:

e premoltiplicando la (A.4) per [D]^T, per effetto delle proprietà di ortogonalità degli autovettori rispetto alle matrici [A] e [B], si ottiene il sistema di 2n equazioni disaccoppiate:

{D_i} è la i-esima colonna della matrice [D], ovvero l'i-esimo autovettore complesso.

Fig. A.1 - Modello dinamico dell'insieme oggetto (a 2 gradi di libertà - i = 1, 2; k_i = costante di rigidezza; c_i = costante di viscosità) + isolatore (di caratteristiche k_b e c_b).

Nel seguito viene quindi illustrata, a titolo di esempio, la procedura di progetto di un isolatore lineare per la protezione sismica di un oggetto modellato come un sistema a due gradi di libertà (Fig. A.1). Per semplicità, la deformazione dell'oggetto è descritta attraverso il primo modo soltanto.

Le pulsazioni proprie p_i ed i corrispondenti autovettori {D_i} del sistema di Fig. A.1 sono forniti dalle espressioni:

w₁ la prima pulsazione propria dell'oggetto, ricavata nell'ipotesi di vincolo di incastro al piede;

(k_b è la rigidezza dell'isolatore ed m_f la massa totale del sistema oggetto + isolatore);

{f_i} l'i-esimo autovettore dell'oggetto, ricavato nell'ipotesi di vincolo di incastro al piede;

Gli autovalori p₂ e p₄ sono i complessi coniugati, rispettivamente, di p₁ e p₃; gli autovettori {D₂} e {D₄} sono i complessi coniugati di {D₁} e {D₃}.

i corrispondenti autovettori che rappresentano la metà inferiore di {D_i}. Nelle (A.13) e (A.14),

è l'unità immaginaria; a_j e bj sono grandezze scalari, reali e positive; {J_j} e {c_j} sono vettori reali ad n componenti. Ponendo:

Si definisce soluzione modale una soluzione ottenuta come combinazione di due autovettori complessi coniugati e dei corrispondenti autovalori:

essendo C_j e

_j i coefficienti di combinazione che possono essere determinati in base alle condizioni iniziali del moto. Indicando con B_j il valore di C_j ricavato per le condizioni iniziali seguenti:

ed indicando con h_j(t) la risposta ad impulso di un oscillatore semplice caratterizzato da una pulsazione naturale non smorzata pari a g_j e da un fattore di smorzamento z_j, è possibile esprimere la risposta del sistema nella forma:

Il progetto dell'isolatore, che consiste nella scelta della rigidezza k_b e dello smorzamento c_b del dispositivo, viene condotto in modo da ottenere (a) che il periodo fondamentale di oscillazione del sistema isolato sia almeno pari ad un valore assegnato e (b) che il sistema abbia una adeguata capacità di dissipare energia.

Per una struttura modellata come un sistema ad n gradi di libertà, il progetto dell'isolatore può essere eseguito impiegando il metodo di Holzer.

Tale metodo, nel caso di un sistema a tre gradi di libertà (Fig. A.2) caratterizzato da smorzamento proporzionale, si applica nel modo seguente.

Si indichi con f_i la generica componente del primo autovettore del sistema. Fissato un valore di tentativo della prima frequenza propria w₁ ed un valore arbitrario della componente f₃, la condizione di equilibrio dinamico della massa m₃ disposta in sommità fornisce l'espressione:

Fig. A.2 - (a) Modello dinamico di un sistema a 3 gradi di libertà e (b) andamento del primo modo di vibrare.

Poiché il valore assegnato a w₁ non è in generale quello esatto, f_orisulterà diverso da zero. Si rende quindi necessaria una iterazione per determinare valori sufficientemente approssimati della prima pulsazione propria e delle componenti del primo autovettore della struttura.

Ponendo nelle (A.22) - (A.24): m₁= m_b, k₁= k_b, m₂= m₁, m₃= m₂, k₂= k₁, k₃= k₂, (cfr. Fig. A1), e f₀=0, ed essendo w₁ la pulsazione desiderata per la struttura isolata, è possibile impiegare la (A.24) per calcolare la rigidezza dell'isolatore, che risulta pari a:

Si consideri ora il caso in cui il sistema a tre gradi di libertà di Fig. A.1 sia caratterizzato da uno smorzamento di tipo non proporzionale e si supponga inoltre di voler ottenere una struttura isolata con un primo modo caratterizzato da una pulsazione w₁ e da una percentuale di smorzamento critico pari a x₁. In questo caso la (A.16a) fornisce le seguenti espressioni:

Eguagliando contemporaneamente a zero la parte reale e la parte immaginaria della (A.27b) si ricavano le grandezze caratteristiche dell'isolatore: k_b e c_b.

La procedura proposta è applicabile a qualsiasi tipo di isolatore lineare. In particolare, è stata applicata alla progettazione di un isolatore in gomma armata per la protezione di un "kouros" conservato al J. P. Getty Museum di Malibù in California (Fig. A.3), alto circa due metri e pesante 363 kg.

La statua è modellata come un sistema discreto a due gradi di libertà, per tenere conto degli effetti della brusca variazione di rigidezza che si ha nel passaggio dal busto al capo della stessa, del peso di circa 20 kg.

Dalla funzione di trasferimento della statua, determinata sperimentalmente, si ricava che le due prime frequenze proprie valgono rispettivamente f₁ = 1/w₁= 2.5 Hz e f₂ = 1/w₂ = 3.5 Hz. Note tali grandezze, dal problema agli autovalori relativo alla statua (immaginata incastrata alla base) si possono ricavare le rigidezze k₁ e k₂ (Fig. A.1), che valgono rispettivamente 98 kN/m e 8.5 kN/m.

Fig. A.3 - "Kouros" in marmo risalente al 530 a.C., conservato al J. P. Getty Museum, Malibù, California.

I risultati dell'analisi modale della statua (incastrata alla base) sono riportati in tab. A.1.

Tab. A.1 - Grandezze modali relative alla statua nell'ipotesi di incastro alla base. M_i, K_i, L_i sono rispettivamente la massa modale, la rigidezza modale e il coefficiente di partecipazione relativi all'i-esimo modo; {f_i} è l'i-esimo autovettore.

M₁	M₂	K₁	K₂	L₁	L₂	{f₁}	{f₂}
46.31	143.28	11415.8	69221.3	0.86	0.14	{1; 2.378}^T	{1; ǉ.360}^T

Si ipotizzi quindi di voler realizzare l'isolamento sismico della statua in maniera tale che il primo modo del sistema isolato sia caratterizzato da un periodo pari a 2 s e da un coefficiente di smorzamento (modale) pari a 0.10. Dalla (A.27b) si ottiene: k_b= 4 kN/m e c_b= 264 N�s/m.

Dimensionato l'isolatore, mediante la tecnica perturbativa, si valutano le pulsazioni proprie e le forme modali del sistema isolato. In Tab. A.2 sono quindi riportati i valori di alcune grandezze caratteristiche del sistema isolato. Gli autovalori complessi p_i e i corrispondenti autovettori {D_i} sono riportati, rispettivamente nelle Tabelle A.3 ed A.4. Note tali grandezze, in base alle (A.15), (A.15b), (A.16b), (A.19), (A.21a), (A.21b), (A.21c), si valutano i valori di g_i, z_i, b_i, B_i, {a_i^v}, {b_i^v}, che sono riportati nella Tab. A.5. La (A.20) permette quindi di valutare l'andamento nel tempo dello deformazione dell'isolatore u_b.

A titolo di esempio, la risposta del sistema è stata ottenuta rappresentando l'azione attraverso un accelerogramma artificiale, generato in modo da avere uno spettro di risposta congruente con quello riportato nell'Eurocodice N. 8 per terreni di tipo B e caratterizzato da un picco di accelerazione 0.35 g (Fig. A.4).

Tab. A.2 - Valori delle grandezze caratteristiche del sistema isolato risultanti dal calcolo:

Tab. A.5 - Valori di g_i, z_i, b_i, B_i, {a_i^v}, {b_i^v} per il sistema di Fig. A.2.

In Fig. A.5 si riporta la risposta in accelerazione assoluta della statua incastrata al piede; in Fig. A.6, si riporta la corrispondente risposta per la statua disposta sull'isolatore.

Fig. A.4 - Accelerogramma adottato nelle analisi numeriche (valore di picco 0.35 g; durata 15 s).

Fig. A.5 - Accelerazioni assolute (m/s²) della statua incastrata al piede: a) grado di libertà 1; b) grado di libertà 2.

La riduzione degli effetti del sisma è modesta: d'altra parte, dal punto di vista pratico già l'isolatore previsto non è realizzabile, almeno in gomma armata, in quanto di altezza troppo elevata.

(a)

(b)

Fig. A.6 - Accelerazioni assolute (m/s²) della statua disposta sull'isolatore: a) grado di libertà 1; b) grado di libertà 2.

A.3 Analisi della risposta dinamica di oggetti d'arte disposti su isolatori non lineari

A causa delle problematiche legate alla progettazione di isolatori lineari che sono state evidenziate alla fine del paragrafo precedente, è stata presa in esame la possibilità di impiegare alcuni dispositivi non lineari: i cosiddetti isolatori non lineari a rotolamento (Fig. A.7). Tali isolatori sono costituiti da barre libere di rotolare, poste al di sotto dell'oggetto (Fig. A.8): è evidente come impiegando due sistemi di barre ortogonali tra loro l'oggetto sia libero di muoversi in qualsiasi direzione nel piano.

Fig. A.7 - Modellazione e caratteristiche dinamiche di un sistema costituito da un oggetto d'arte disposto su di un isolatore a rotolamento.

Fig. A.8 - Modello di una barra dell'isolatore a rotolamento: parametri cinematici ed azioni indotte nel moto.

La massima azione trasmessa all'oggetto disposto sull'isolatore a rotolamento dipende dall'attrito che si sviluppa al contatto tra barre e piastre. Il valore del coefficiente d'attrito di primo distacco m può essere stimato attraverso la seguente relazione, calibrata in una serie di prove sperimentali da Noonan e Strange (Baumeister et al., 1987):

nella quale: d è il diametro delle barre (espresso in pollici), k e k' sono i parametri che caratterizzano l'attrito che si sviluppa in corrispondenza delle piastre a contatto con le barre, rispettivamente superiore ed inferiore. Se le barre e le piastre sono in acciaio, e se le superfici di rotolamento sono pulite e ben levigate, i valori di k e k' oscillano tra 0.0005 e 0.001 (pollici).

La risposta dinamica dell'oggetto disposto sull'isolatore a rotolamento è la soluzione del sistema di equazioni differenziali (A.29):

[M], [K] e [C] sono le matrici, rispettivamente, delle masse, delle rigidezze e degli smorzamenti dell'oggetto;

L'attrito del dispositivo di isolamento dipende dal segno della velocità angolare delle barre, che è funzione della velocità delle piastre di collegamento al supporto ed all'oggetto, essendo (cfr. Fig. A.8):

E' quindi necessario determinare la storia temporale delle velocità attribuite al piano d'appoggio.

In genere si dispone delle storie temporali delle accelerazioni; è quindi necessario procedere ad una integrazione di tali storie. Poiché gli accelerogrammi, sia registrati che artificiali, sono disponibili in forma digitalizzata, tale integrazione richiede la formulazione di una ipotesi sull'andamento dell'accelerazione nell'intervallo di tempo compreso tra due istanti campionati: per semplicità si può applicare una interpolazione lineare, che però presenta l'inconveniente di dare origine a problemi di deriva per quanto riguarda sia le velocità che gli spostamenti.

Per ovviare a tali problemi di deriva, si è implementata la tecnica di correzione di Borsoi-Ricard (1985), che consiste nell'individuare un accelerogramma il più possibile simile a quello di partenza, ma tale da garantire il rispetto di alcuni vincoli: nel caso in esame, velocità finale, spostamento finale e spostamento medio nulli. Dal punto di vista analitico le relative correzioni si attuano minimizzando la distanza euclidea tra i due accelerogrammi, quello di partenza e quello corretto, ed adottando per tale minimizzazione il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Nelle Figg. A9 e A10 vengono quindi riportati i confronti tra le storie temporali di velocità e spostamento dell'accelerogramma di partenza (Fig. A.4) e di quello corretto; le storie temporali delle accelerazioni sono invece praticamente coincidenti.

Fig. A.9 - Confronto tra le velocità (in m/s) corrispondenti all'accelerogramma di Fig. A.4 ed a quello corretto.

Fig. A.10 - Confronto tra gli spostamenti (in m) corrispondenti all'accelerogramma di Fig. A.4 ed a quello corretto.

Il sistema di isolamento preso in esame viene quindi impiegato per la protezione alla statua già presa in esame nel Par. A.1 (Fig. A.4); come dispositivo a rotolamento si è preso in esame quello proposto da Lin ed Hone (1993) e verificato sperimentalmente da (Lin et al., 1995) (Fig. A.11).

La massa della piastra superiore dell'isolatore di Fig. A.11 è scelta in modo da garantire una sicurezza adeguata nei confronti della possibilità di innesco delle oscillazioni ed eventualmente del ribaltamento del sistema statua + isolatore.

Nel caso di corpi rigidi, la condizione (necessaria ma non sufficiente) per il ribaltamento è espressa dalla formula di West:

essendo H l'altezza del baricentro del corpo sul piano d'appoggio, B la distanza tra la proiezione del baricentro sul piano d'appoggio e l'asse di rotazione (coincidente con una tangente alla base), a_g l'accelerazione orizzontale del piano d'appoggio e g accelerazione di gravità. La (A.31) è stata applicata anche in questo caso, in cui si tiene conto della deformabilità del corpo. Tenendo conto della geometria della statua, del valore di a_g (= 0.35 g), si è adottata una piastra superiore avente pianta quadrata con lato di 700 mm e spessore di 13 mm. E' stato anche previsto l'impiego di un elemento di stabilizzazione e ricentramento costituito da molle elicoidali. Tale elemento permette di eliminare gli effetti di una eventuale inclinazione del piano d'appoggio e delle vibrazioni sia di origine antropica sia dovute alla presenza di macchine vibranti disposte nelle vicinanze. Il sistema di equazioni (A.29) assume la forma (A.32):

nella quale si è fatta l'ipotesi semplificativa che la rigidezza delle molle sia costante e pari a k_s. E' noto invece che la rigidezza laterale delle molle elicoidali è funzione non lineare dello spostamento; il livello di approssimazione introdotto è tuttavia ammissibile.

(a)

(b)

Fig. A.12 - Accelerazioni assolute (m/s2) della statua disposta sull'isolatore a rotolamento: a) grado di libertà 1; b) grado di libertà 2.

Nelle Figg. A.12 a, b viene riportata la risposta in termini di accelerazione assoluta della statua disposta sull'isolatore a rotolamento, nel caso particolare di un sistema di ricentramento di tipo "soffice", ovvero caratterizzato da una rigidezza equivalente delle molle pari a: k_s = 340 N/m.

Si rileva che la accelerazioni massime si riducono a valori molto bassi, accettabili per l'oggetto in esame.

Gli spostamenti dell'isolatore rispetto al piano d'appoggio sono riportati in Fig. A.13. I valori massimi risultano accettabili, così come i valori residui.

Dall'esame dei risultati ottenuti, si rileva che, per la protezione sismica di alcune categorie di oggetti d'arte, quali le statue, è possibile impiegare dispositivi di isolamento sismico, e che è opportuno in genere adottare dispositivi caratterizzati da un legame di comportamento di tipo non lineare.

Il dispositivo d'isolamento sismico non lineare preso in esame rappresenta una soluzione efficiente (soprattutto se dotato di un sistema di ricentramento di tipo soffice), sia in termini di limitazione dello stato tensionale e deformativo della statua, sia per le dimensioni contenute.

Si ritiene tuttavia che il giudizio sostanzialmente negativo che è stato espresso sulla risposta dinamica di oggetti d'arte disposti su isolatori a comportamento lineare non possa essere considerato definitivo poiché ci si è limitati ad esaminare un solo tipo di isolatore, quello in gomma armata. Sarebbe infatti da esaminare, ad esempio, la possibilità di impiegare come dispositivo d'isolamento un insieme di molle elicoidali in acciaio disposte in parallelo con uno smorzatore viscoso.

Baumeister, T., Avallone, E.A., Baumeister III, T. (1987): Mark's Standard Handbook for Mechanical Engineers. Mc-Graw Hill, New York.

Borsoi, L., Ricard, A. (1985): A Simple Accelerogram Correction Method to Prevent Unrealistic Displacement Shift. Brussels, 8^th SMIRT, Vol. K(a),

Lin, T. W., Hone, C. C. (1993): Base Isolation by free rolling rods under basement. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 22, 261냙.

Lin, T. W., Chern, C. C., Hone, C. C. (1995): Experimental study of base isolation by free rolling rods, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 24,1645񮑂.

w_b	w₁	e	x_b	m_f	R₁	P₁
3.20	15.70	0.041	0.11	39	1.188	0.875

g₁	g₃	z₁	z₃	b₁	b₃	B₁	B₃	{a₁^v}	{a₃^v}	{b₁^v}	{b₃^v}
3.138	45.373	0.100	0.080	3.122	45.228	ǂ.0020 - i 0.3132	0.0023 + i 0.0106

p₁	p₂	p₃	p₄
ǂ.313 + i 3.122	ǂ.313 - i 3.122	ǅ.625 + i 45.228	ǅ.625 - i 45.228